這兩篇文章都有引薦“bootstrap”方法：

中介和調(diào)節(jié)效應(yīng)自助法檢驗(yàn), 非正態(tài)截面數(shù)據(jù)

10種常用的的數(shù)據(jù)分析思路, 計(jì)量學(xué)者必備

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，自助法（Bootstrap Method，Bootstrapping或自助抽樣法）是一種從給定訓(xùn)練集中有放回的均勻抽樣，也就是說(shuō)，每當(dāng)選中一個(gè)樣本，它等可能地被再次選中并被再次添加到訓(xùn)練集中。自助法由Bradley Efron于1979年在《Annals of Statistics》上發(fā)表。當(dāng)樣本來(lái)自總體，能以正態(tài)分布來(lái)描述，其抽樣分布(Sampling Distribution)為正態(tài)分布(The Normal Distribution)；但當(dāng)樣本來(lái)自的總體無(wú)法以正態(tài)分布來(lái)描述，則以漸進(jìn)分析法、自助法等來(lái)分析。采用隨機(jī)可置換抽樣(random sampling with replacement)。對(duì)于小數(shù)據(jù)集，自助法效果很好。

最常用的一種Bootstrap自助法，假設(shè)給定的數(shù)據(jù)集包含d個(gè)樣本。該數(shù)據(jù)集有放回地抽樣m次，產(chǎn)生m個(gè)樣本的訓(xùn)練集。這樣原數(shù)據(jù)樣本中的某些樣本很可能在該樣本集中出現(xiàn)多次。沒(méi)有進(jìn)入該訓(xùn)練集的樣本最終形成檢驗(yàn)集（測(cè)試集）。 顯然每個(gè)樣本被選中的概率是1/m，因此未被選中的概率就是(1-1/m)，這樣一個(gè)樣本在訓(xùn)練集中沒(méi)出現(xiàn)的概率就是m次都未被選中的概率，即(1-1/m)^m。當(dāng)m趨于無(wú)窮大時(shí)，這一概率就將趨近于e^-1=0.368，所以留在訓(xùn)練集中的樣本大概就占原來(lái)數(shù)據(jù)集的63.2%。

例如：人工樣本為1，2，3；只有三個(gè)樣本，則可以從隨機(jī)變量X，分布為P(X=k)=1/3, k=1,2,3; 這樣的經(jīng)驗(yàn)分布中用計(jì)算機(jī)根據(jù)上述分布自動(dòng)產(chǎn)生樣本，如產(chǎn)生5個(gè)樣本：1 2 3 2 1；也可以是：3 3 2 1 1。

自助法在數(shù)據(jù)集較小、難以有效劃分訓(xùn)練集和測(cè)試集時(shí)很有用；此外，自助法能從初始數(shù)據(jù)集中產(chǎn)生多個(gè)不同的訓(xùn)練集，這對(duì)集成學(xué)習(xí)等方法有很大的好處。然而，自助法產(chǎn)生的數(shù)據(jù)集改變了初始數(shù)據(jù)集的分布，這會(huì)引入估計(jì)偏差。因此，在初始數(shù)據(jù)量足夠時(shí)，留出法和交叉驗(yàn)證法更常用一些。

下面，咱們通過(guò)一列slides來(lái)看看bootstrap方法。如果不懂這些具體運(yùn)算，對(duì)這種方法有大致的印象也對(duì)今后的研究工作有很大的幫助。

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